소수는 어떻게 사람을 매혹하는가?
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- 사람과나무사이
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- 지은이
- 다케우치 가오루
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상품정보
저자 서문_ 소립자와 원자핵에서 지구와 우주까지, 세상 만물을 움직이는 숫자 소수
1장_ 매미에서 법률까지, 세상을 움직이는 숫자 소수
매미가 소수인 13년, 17년을 주기로 대량 발생하는 이유 / 매미의 기상천외한 생존 전략 / 소수가 법을 만나면? / 1,401자리 소수가 재판에 회부되어 위법 판정을 받았다고? / 시저 암호와 비밀 열쇠 암호 / 소수를 활용한 공개 열쇠 암호의 원리 / 스파이 전쟁의 역사에 등장하는 소수
칼럼 1_ 전통수학에서 소수는 어떻게 다루어졌을까?
2장_ 우주의 비밀을 쥔 숫자, 소수
물리학자들의 우주 기술 방정식에 ‘까꿍’ 하고 얼굴을 내미는 소수 / 원자핵 에너지와 제타 함수 영점의 관계 /
과학사를 뒤바꾼 물리학자와 수학자의 티타임 / 우주의 비밀을 쥔 숫자 42 / 우주와 원자핵을 잇는 미스터리 /
상대성이론 탄생이 40년이나 늦어진 기막힌 이유 / 초끈이론을 이론적으로 완성시키는 소수 / 학교에서 배운 법칙이 와장창 깨지는 순간 / 삼라만상은 수학을 매개로 서로 연결된다
3장_ 수학과 예술의 환상적인 만남
‘음향학의 아버지’도 푹 빠졌던 소수 / 수학계를 감동시킨 한 줄의 간단한 식 / 소수의 아름다움을 시각적으로 표현하면? / 소수를 멜로디로 만든 사람들 / 바이올린과 소수 계단
4장_ 매혹적인 숫자, 소수의 세계
소수로 길이를 재는 자가 있다고? / 다양한 수를 만드는 궁극의 단위, 소수 / ‘최대 소수’를 증명하는 일에 일생을 바친 수학자들 / 6,561이 소수인지 아닌지 3초 만에 파악하는 방법 / 유리수와 무리수, 혹은 유비수와 무비수 / 반복되는 패턴이 없는 비순환소수를 암기하는 방법 / 0과 마이너스 발견이 인류 역사상 가장 중요한 발견 중 하나인 이유 / 데카르트도 부정했던 숫자 ‘허수’가 우주를 이해하는 데 꼭 필요한 개념이라고? / 수가 ‘우주’라면 소수는 ‘소립자’다 / 천재 수학자 가우스가 소수에 매혹된 이유 / 300만 이하의 소수는 모두 몇 개?
칼럼 2_ 소수가 영어로 ‘prime number’인 이유
칼럼 3_ 비트겐슈타인의 강의록에서 ‘골드바흐의 추측’을 만나다
5장_ 소수 속의 역사 역사 속의 소수
고대 이집트인들도 소수의 개념을 알고 있었다고? / 소수가 무한하다는 것을 어떻게 증명할까 / ‘에라토스테네스의 체’에 거르면 소수가 나온다고? / 레온하르트 오일러와 소수의 관계 / 소수의 규칙성을 발견한 가우스 / 가우스의 ‘소수 계단’을 단숨에 뛰어오른 리만 / 소수 분포에 관한 미해결 문제, ‘쌍둥이 소수가설’ / 쌍둥이 소수를 거꾸로 더해 보면? / ‘세쌍둥이 소수’, ‘사촌 소수’, ‘섹시 소수’ / 집단지성을 활용해 난제에 도전하는 프로젝트, Polymath
칼럼 4_ 가우스가 인류 최고 수학자인 이유
6장_ 범죄 용의자 소수와 리만 가설 이야기
범죄 용의자로 지목된 소수 이야기 / 가우스의 소수 공식 / 완벽한 소수 계단 / 리만의 놀라운 발견 / 리만의 궁극 소수 공식 / 리만 가설에 대하여 / 열쇠를 쥔 리만의 제타 함수 / 제타 함수의 영점은 어디에? / 리만 가설을 획기적으로 진전시킨 두 천재 수학자 / 복소수의 세계 어딘가에 수많은 ‘영점’이 숨어 있다고? / 앨런 튜링, 리만 가설에 맞짱 뜨다
칼럼 5_ 아인슈타인의 일반상대성이론에도 사용된 리만기하학
칼럼 6_ 2위대하고도 비극적인 천재 수학자 앨런 튜링이 인류 역사에 남긴 것
저자 후기
참고문헌
소수표
원자핵에서 물리학, 예술, 법, 우주에 이르기까지
삼라만상을 움직이는 숫자 소수의 비밀을 밝힌다!
무한대로 존재하는 수(數) 중에서 가장 기본적인 숫자. 모든 수를 통틀어 가장 매혹적이고 신비로운 숫자. 바로 소수다! 소수는 수학을 좋아하는 사람은 물론이고 수학을 싫어하는 사람조차 단번에 빠져들게 할 만큼 매력적인 숫자다. 그래서인지 일부 수학자들은 ‘가장 큰 소수’를 찾는 일에 자신의 한평생을 바치기도 한다.
‘과학을 쉽고 재미있게 소개하는 저술가’로 일본은 물론이고 국내에도 적지 않은 팬을 확보한 이 책의 저자 다케우치 가오루는 소립자가 물질과 우주를 이루는 가장 작은 단위이자 핵심 입자이듯 ‘수’라는 우주에서 소수는 가장 기본적인 숫자이자 매혹적이고 신비로운 숫자라고 이야기한다.
사람의 마음을 강하게 잡아끌고 매혹하는 소수의 힘은 어디서 비롯될까? 가장 작은 물질 단위인 소립자와 원자핵에서 가장 큰 단위인 지구와 우주까지, 매미의 생태에서 컴퓨터와 인터넷과 암호, 상대성이론과 초끈이론을 망라하는 물리학의 세계, 예술과 법에 이르기까지 소수는 삼라만상에 숨어 우주의 생성과 작동에 은밀히 참여한다는 점에서 찾을 수 있다. 그런 터라, 수학자들은 물론이고 과학자들도 소수의 성질을 좀 더 명확히, 제대로 이해하기 위해 많은 시간을 들여 연구에 매진한다.
이 책을 읽다 보면 당신은 자신도 모르게 소수의 매력에 흠뻑 빠져들게 될 것이다.
사람을 유혹하고 세상을 움직이는 숫자
소수의 비밀을 밝힌다!
‘과학을 쉽고 재미있게 소개하는 저술가’로 일본은 물론이고 국내에도 적지 않은 팬을 확보한 저자 다케우치 가오루의 신간 도서가 사람과나무사이에서 번역 출간되었다. 이번에는 과학이 아닌 수학. 그중에서도 ‘소수’다! 책 제목은 『소수는 어떻게 사람을 매혹하는가?』다.
이 책의 저자 다케우치 가오루는 소립자가 물질과 우주를 이루는 가장 작은 단위이자 핵심 입자이듯 ‘수(數)’라는 우주에서 소수는 가장 기본적인 숫자이자 매혹적이고 신비로운 숫자라고 이야기한다. 실제로 소수는 수학을 좋아하는 사람은 물론이고 수학을 싫어하는 사람조차 단번에 빠져들게 할 만큼 매력적인 숫자다. 그래서인지 어떤 수학자들은 ‘가장 큰 소수’를 찾는 일에 오랜 시간을 아낌없이 투자하기도 한다. 프랑스 수학자 에두아르 뤼카(Francois Edouard Anatole Lucas, 1842~1891)도 그런 사람 중 하나였다. 그는 열다섯 살 때 ‘2의 127제곱 빼기 1’이 소수인지 아닌지를 증명하기 위해 손 계산 연구에 몰두하기 시작했고, 19년을 쏟아부은 후 마침내 그 수가 소수임을 증명해 냈다.
39자리의 170141183460469231731687303715884105727이라는 숫자였다. 이 수는 그 후 76년 동안 ‘인류가 발견한 최대 소수’의 자리를 굳건히 지켰다.
“물리학자들이 우주를 기술하는 방정식을 연구하다 보면 소수가 ‘까꿍’ 하고 얼굴을 내미는 순간이 있다. 학자들은 ‘도대체 이 녀석이 어디서 튀어나왔을까?’ 하며 소수의 깜짝 등장에 고개를 갸웃거린다. 이렇듯 사람을 매혹하는 숫자 소수는 우주의 생성과 작동에도 은밀히 참여하는 놀랍고 신비한 숫자다!”
- 본문 중에서
사람의 마음을 강하게 잡아끌고 매혹하는 소수의 힘은 어디서 비롯될까? 가장 작은 물질 단위인 소립자와 원자핵에서 가장 큰 단위인 지구와 우주까지, 매미의 생태에서 컴퓨터와 인터넷과 암호, 상대성이론과 초끈이론을 망라하는 물리학의 세계, 예술과 법에 이르기까지 소수는 삼라만상에 숨어 우주의 생성과 작동에 은밀히 참여한다는 점에서 찾을 수 있다. 그런 터라, 수학자들은 물론이고 과학자들도 소수의 성질을 좀 더 명확히, 제대로 이해하기 위해 많은 시간을 들여 연구에 매진한다.
『소수는 어떻게 사람을 매혹하는가?』는 소립자와 원자핵에서 지구와 우주까지, 매미의 생태에서 컴퓨터와 인터넷과 암호, 상대성이론과 초끈이론을 망라하는 물리학의 세계, 예술과 법에 이르기까지 세상 거의 모든 것에 진주조개 속 진주처럼 숨어 있는 ‘소수’와 ‘소수의 법칙’을 명쾌하게 밝혀내는 책이다. 이 책을 읽다 보면 독자는 자신도 모르게 소수의 매력에 흠뻑 빠져들게 될 것이다.
소수에 관한 몇 가지 근원적 질문과 답변들
1 인류는 언제부터 소수의 개념을 인식하기 시작했을까?
2 소수는 무한대로 존재할까?
3 소수가 나타나는 일정한 법칙이 있을까?
4 현재 인류는 소수에 대해 어느 정도나 이해하고 있을까?
…….
소수에 관한 궁금증은 꼬리에 꼬리를 물고 이어진다. 위의 질문에 대한 답을 간략히 정리해 보면, 다음과 같다.
1 인류는 언제부터 소수의 개념을 알고 있었을까?
저자에 따르면, 고대 이집트 시대로 추정된다. 고대 이집트인들은 소수의 개념을 어느 정도 이해하고 있었으며, 어렴풋하게나마 소수와 합성수를 구별했다고 한다. 이후 그리스 시대에 이르러 수학이라는 학문은 비약적으로 발전하게 되고, 사람들은 한결 더 진지하게 소수를 연구하기 시작했다.
2 소수는 무한대로 존재할까?
수 자체와 마찬가지로, 소수는 무한대로 존재한다. 고대 그리스 시대에 소수 연구는 커다란 진척을 보였는데, 소수가 무한히 존재한다는 사실이 이 시기에 이미 증명되었다. 주인공은 BC 300년경에 활약하며 [유클리드 기하학]을 정립했고, 수학사에서 ‘경전적 지위’를 확보한 『기하학 원론』의 저자이자 위대한 수학자인 유클리드였다(‘소수의 무한성’에 관한 증명은 이 책 144~145쪽 내용 참고).
3 소수가 나타나는 일정한 법칙이 있을까?
오랫동안 수학자들은 소수에 규칙성이 존재하지 않는다고 생각해 왔다. 소수의 목록을 만들어 놓고 아무리 세밀히 살펴보아도 일정한 규칙이나 법칙을 발견할 수 없었기 때문이다. 소수의 출현은 무작위적일 뿐 아니라 혼란스럽게 느껴질 정도였다. 그러나 수백 수천 년 동안 소수에 관한 깊이 있는 연구가 꾸준히 이루어지는 과정에 소수의 출현에 일정한 규칙성과 법칙이 존재한다는 사실이 밝혀졌다.
소수의 규칙성을 맨 처음 발견한 사람은 독일이 낳은 위대한 수학자이자 천문학자・물리학자이며, 인류 역사상 가장 유명한 수학자 중 한 명으로 추앙받는 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss, 1777~1855)였다. 1849년에 가우스는 천문학자 헨케와 편지를 주고받았는데, 그 편지에서 그는 일정 크기까지의 소수가 몇 개 있는지를 알기 위한 ‘근사공식’을 밝혔다. 가우스 근사공식은 그가 창안한 ‘소수 계단’이라는 독창적인 아이디어를 통해 좀 더 정교하고 구체화한 이론으로 발전했다. 가우스 근사공식과 소수 계단의 개념은 다른 수학자들에게 커다란 영향을 끼쳤으며, 이후 인류는 소수의 규칙성을 찾는 방향으로 돌진했다(‘가우스 근사공식’에 관해서는 153~156쪽 내용 참고).
가우스 근사공식의 완성도와 정확도를 단숨에 끌어올린 인물은 독일이 낳은 또 다른 위대한 수학자 베른하르트 리만(Bernhard Riemann, 1826~1866)이었다. 그는 가우스 근사공식에서 출발하여 소수 계단을 엄밀하게 재현했는데, 그 과정에 ‘제타 함수’라는 특수한 함수의 성질을 가미하여 가우스 소수 계단을 한 차원 발전시켰다(156~159쪽 내용 참고).
4 현재 인류는 소수에 대해 어느 정도나 이해하고 있을까?
소수의 개념을 제대로 이해하는 일은 생각처럼 녹록지 않다. 인류는 고대 이집트 시대 이후 수천 년 동안 소수를 알아 왔고, 많은 수학자가 소수를 좀 더 명확히 이해하기 위해 일생을 들여 씨름해 왔지만 소수의 비밀은 아직 다 밝혀지지 않았다. 아니, 인류는 아직도 소수를 극히 일부밖에 이해하지 못한다고 해도 지나치지 않을 만큼 소수의 세계는 심오하고도 오묘하다. 그런 탓에 헝가리 수학자 폴 에르도스는 다음과 같은 명언을 남기기도 했다.
“인류가 소수를 제대로 이해하려면 앞으로 적어도 백만 년은 더 걸릴 것이다.”
사람을 강하게 유혹하고 세상 만물을 움직이는 숫자, 소수. 이 책 『소수는 어떻게 사람을 매혹하는가?』는 부족하나마 흥미진진하고도 매혹적인 수의 세계, 그중에서도 특히 소수의 세계로 나아가는 작은 관문이 되어 줄 것이다.
소수의 해인 ‘13년’, ‘17년’을 주기로 매미가 대량 발생하는 이유
우리의 일상에서 소수의 법칙이 작동하는 경우를 살펴보자. 그 대표적인 사례로, ‘소수 매미’를 들 수 있다. 곤충 매미가 소수를 영리하게 이용하며 살아간다고 하면 놀라거나 황당한 소리라며 손사래 칠 독자가 많을 것이다. 하지만 사실이다. 매미가 어떻게 소수와 소수의 법칙을 교묘히 이용하여 멸종을 피하고 종을 유지・번식하는지 간략히 살펴보자.
부엉이, 박쥐, 청설모 같은 포식자에게 매미는 구미를 당기는 훌륭한 먹잇감이다. 그러므로 매미의 입장에서 포식자의 위협으로부터 생명을 지키고 종을 보존하기는 결코 녹록한 일이 아니다. 종의 효과적인 유지와 번식을 위해 매미가 선택한 방법은 ‘13년, 17년과 같은 소수의 해마다 대량으로 발생하기 작전’이었다. 말하자면 인해 전술, 아니 ‘충해 전술’인 셈이다.
미국의 어느 지역에는 크게 두 종류의 매미가 서식한다. 그중 하나는 17년 주기로, 다른 하나는 13년 주기로 발생한다(‘17년 매미’와 ‘13년 매미’가 동시에 발생하는 사례는 아직 보고되지 않았다). 둘 다 소수다. 생물학자들에 따르면 과거에는 12년 매미, 14년 매미, 15년 매미, 16년 매미, 18년 매미 등 다양한 종의 매미가 서식했다고 한다. 그중 화석이 남아 있는 종도 있으므로 이는 확실히 믿을 만한 사실이다.
한데, 그 매미들은 왜 멸종했을까? 결정적인 원인은 ‘교잡’ 때문이다. 먼저, 짝수 해에 태어난 매미는 홀수 해에 태어난 매미와 비교할 때 훨씬 불리할 수밖에 없다. 예컨대, 12년 매미와 8년 매미의 경우 12와 8의 최소공배수가 24이므로 24년마다 발생 시기가 겹치고 교잡이 발생한다. 가령 12년 매미만 자손을 만든다면 주기는 유전으로 전해지지만, 아비와 어미가 8년과 12년이라면 그 종이 발생하는 주기가 뒤섞여 엉망진창이 되어 버린다.
그런 터라, 종을 유지하기 위해 매미는 정해진 해에 집중적으로 대량 발생하는 전략을 취해야 했다. 한데, 교잡이 일어나면 심각한 문제가 발생한다. 번데기에서 허물을 벗고 성충이 되는 해가 뒤죽박죽되어 대량 발생이 아닌 소량 발생이 되기 때문이다. 그렇게 차츰 수가 줄어들다가 마침내 멸종의 길로 들어서게 된다.
여기서 ‘소수’의 성질이 효력을 발휘한다. 소수인 7과 소수가 아닌 12를 예로 들어 보자. 두 숫자의 최소공배수는 7 곱하기 12인 84다. 그러므로 84년이 지나기 전에는 두 종의 매미가 동시 발생할 가능성이 없다는 계산이 나온다. 앞에서 살펴본 8과 12의 최소공배수는 (8×12=96이 아니라) 24다. 8과 12에는 4라는 공약수가 있으므로 최소공배수가 훨씬 작아진다. 그에 반해 소수는 다른 수와 공통의 약수를 갖지 않아 최소공배수가 커지고 자연스럽게 동시 발생하는 간격도 엄청나게 벌어진다. 이런 이유로 13년과 17년 종만 순수 혈통을 보존해 항상 대량 발생하므로 효율적으로 살아남을 수 있었다는 것이 많은 연구자의 공통된 인식이다.
지금까지 살아남은 ‘13년 매미’와 ‘17년 매미’의 교잡도 고려해 볼 수 있다. 이 둘의 최소공배수는 (13 곱하기 17로) 221이므로, 매우 긴 시간 동안 발생 시기가 겹치지 않는다. 바로 이런 이유에서 이 두 종류가 오늘날까지 살아남았다고 추정할 수 있다. 물론 13년 매미나 17년 매미가 소수의 원리를 간파하고 의도적으로 그런 선택을 했을 리는 없다. 아무튼, 생물계에서 소수 해에 우연히 발생하는 종이 진화론적으로 유리하다는 이야기는 매우 흥미로울 뿐 아니라 우리의 상상력을 자극한다.
가장 매혹적인 숫자 소수를 둘러싼 흥미진진하고 기상천외한 이야기
• 소수로 길이를 재는 자가 있다고?
• 6,561이 소수인지 아닌지 3초 만에 파악하는 방법
• 가우스는 300만 이하의 수 중에서 소수가 21만 6,800여 개라는 걸 어떻게 단박에 알았을까?
• ‘2의 127제곱 빼기 1’이 소수인지 아닌지 증명하기 위해 19년을 쏟아부은 프랑스 수학자 에두아르 뤼카 이야기
• 데카르트도 부정했던 숫자 ‘허수’가 우주를 이해하는 데 꼭 필요한 개념이라고?
• 20세기 철학의 거장 비트겐슈타인의 강의록에 ‘골드바흐의 추측’이 등장하는 까닭
• 소수의 해인 13년, 17년을 주기로 매미가 대량 발생하는 이유는?
• 고대 이집트인들도 소수의 개념을 알고 있었다는데?
• 1,401자리 소수가 재판에 회부되어 위법 판결을 받은 이유
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